\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº9 - Espace - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{15 fev 2023 - 1h15}  \end{center}



\exo{}{(Polynésie sept 2019 - 11 pts)} On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 6~cm dans le repère orthonormé $(A;~\vect{i},~\vect{j}, \vect{k})$, l'unité étant le cm.\\
On considère le point $I(6~;~0~;~3)$ et le point $L$ milieu du segment $[FG]$.\\
On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule  $V = \dfrac{\text{aire de la base} \times  \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $E$, $I$ et $L$ définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
\medskip
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ELI}$, arrondie au dixième de degré.	
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\smallskip
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ passant par le point $F$ :\\
		déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		\smallskip
		\item Montrer que l'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $\mathcal{P}$ est le point K$\left(\frac{16}{3}~;~\frac{4}{3}~;~\frac{14}{3}\right)$.
 	\end{enumerate}
\medskip
\item \begin{enumerate}
       \item Justifier que le volume du tétraèdre FELI est de $9$~cm$^3$ (on prendra comme base le triangle $IFL$).
       \smallskip
       \item Calculer l'aire en cm$^2$ du triangle $ELI$.
      \end{enumerate}
\medskip
\item Tracer sur le graphique, la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ passant par le point $G$ et en donner la nature précise sans justification.
\end{enumerate}
\finexo


\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,9)
\psline(0.5,1.8)(3.2,0.5)(9,1.2)(9,7.4)(3.2,6.7)(3.2,0.5)%BCDHGC
\psline(9,7.4)(6.3,8.7)(0.5,8)(0.5,1.8)%HEFB
\psline(3.2,6.7)(0.5,8)%FG
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.8)(6.3,2.5)(9,1.2)%BAD
\psline[linestyle=dashed](6.3,2.5)(6.3,8.7)%AE
\psdots(0.5,1.8)(3.2,0.5)(9,1.2)(9,7.4)(3.2,6.7)(3.2,0.5)(6.3,8.7)(0.5,8)(6.3,2.5)(1.85,7.35)(0.5,4.9)
\multido{\n=0.500+0.967,\na=1.800+0.117}{6}{\psdots(\n,\na)}
\multido{\na=2.50+1.03}{6}{\psdots(6.3,\na)}
\multido{\n=6.30+0.45,\na=2.500+-0.217}{6}{\psdots(\n,\na)}
\uput[ur](6.3,2.5){A} \uput[l](0.5,1.8){B} \uput[d](3.2,0.5){C}
\uput[ur](9,1.2){D} \uput[u](6.3,8.7){E} \uput[u](0.5,8){F} 
\uput[u](3.2,6.7){G} \uput[ur](9,7.4){H} \uput[l](0.5,4.9){I}  
\uput[ur](1.85,7.35){L} 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(6.3,2.5)(5.333,2.383)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(6.3,2.5)(6.75,2.283)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(6.3,2.5)(6.3,3.53)
\uput[d](5.5,2.4){$\vect{\imath}$}\uput[ur](6.3,1.6){$\vect{\jmath}$}\uput[l](6.3,2.9){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\newpage
\exo{}{(4 pts)} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}.\\
\textbf{Ecrire sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie sans justifier.}\par
\medskip
Il est attribué un point par réponse correcte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Pour chaque question, une seule des affirmations proposées est exacte.\\
\medskip

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points $A(1;-1;-1)$, $B(1;1;1)$, $C(0;3;1)$,\par
et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x+y-z+5=0$.\par
\bigskip

\textbf{Question  1 :} Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vect{u}(2;-1;1)$ passant par $A$.\par
Une représentation  paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est :\par
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2+t \\
y&=&- 1 - t\\ 
z&=&1 - t
\end{array}\right. \quad (t \in \R)$&
\textbf{b.~~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&- 1 + 2t \\
y&=&1 - t\\ 
z&=&1 + t
\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\
\textbf{c.~~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&5 + 4t \\
y&=&- 3 - 2t\\ 
z&=&1 +  2t
\end{array}\right. \quad (t \in \R)$&
\textbf{d.~~}$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&4 -  2t \\
y&=&- 2 + t\\ 
z&=&3 - 4 t
\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\
\end{tabularx}
\bigskip
 
 
\textbf{Question 2 :} Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&-1 +  t' \\
y&=& t'\\ 
z&=&-2 - t'
\end{array}\right. \quad (t' \in \R)$.
 
\textbf{a.~~} Les droites $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}_1$ sont parallèles.\par
\bigskip
\textbf{b.~~} Les droites $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}_1$ sont orthogonales.\par
\medskip
\textbf{c.~~} Les droites $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}_1$ se coupent au point $D(0;1;-1)$.\par
\medskip
\textbf{d.~~} Les droites $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}_1$ sont perpendiculaires.\par
\bigskip 
 
 
\textbf{Question 3 :} Soit $\mathcal{D}_{3}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&1 +  k \\
y&=&- 3 - k\\ 
z&=&2 - 2 k
\end{array}\right. \quad (k \in \R)$.
 
\textbf{a.~~} La droite $\mathcal{D}_{3}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants.\par
\bigskip
\textbf{b.~~} La droite $\mathcal{D}_{3}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.\par
\medskip
\textbf{c.~~} La droite $\mathcal{D}_{3}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} \right)$.\par
\medskip
\textbf{d.~~} La droite $\mathcal{D}_{3}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3};\dfrac{22}{3} \right)$.\par
\bigskip


\textbf{Question 4 :}\par
\medskip
\textbf{a.~~} L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point.

\smallskip
\textbf{b.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus. 

\smallskip
\textbf{c.~~} Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite.

\smallskip
\textbf{d.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles. 
\finexo

\end{document}
