\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
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                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
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                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº10 - Fonction Ln - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{1 mars 2023 - 1h}  \end{center}


Seul l'exercice 1 est évalué !\\

\exo{}{(Asie mai 2022 J1 - 10 pts)}\\
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points A(1~;~3) et B(3~;~5).

On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-7,-2.25)(8,6.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-2.25)(8,6.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{8}{x dup mul 1 add ln 3 add 2 ln sub}
\psplot[linestyle=dashed]{-7}{8}{x 2 add}
\uput[dr](1,3){A}\uput[ul](3,5){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,3)(3,5)
\uput[d](-5.5,5.75){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\smallskip
\item La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.
		\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction paire.
\smallskip
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\smallskip
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ puis étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\smallskip
\item À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.
\smallskip
\item Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :} On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion
de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\smallskip
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.
\smallskip
\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}


\newpage
\exo{}{(Métropole sept 2022 J1}\\

\medskip

\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\medskip
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1,\:f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
		\smallskip
		\item Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1)
\psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.4){$x$}\uput[u](2.1,0.4){$1$}\uput[u](4,0.4){e}\uput[u](5.5,0.4){$+ \infty$}
\rput(1,0.25){$f'(x)$}\rput(3,0.25){$+$}\rput(4,0.25){0} \rput(5,0.25){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\medskip
\item Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.
		\smallskip
		\item Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :\\
$u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
\medskip
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}$.
\medskip
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $f$ est solution de l'équation :
\[\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans
la partie A.
\medskip
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}
