\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº12 - Probabilités - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{8 mars 2023 - 1h}  \end{center}


Seul l'exercice 1 est évalué !\\


\exo{}{(10 pts)} Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60\,\% d'entre eux sont finalement admis à l'école.
\item[$\bullet~~$] Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20\,\% d'entre eux sont admis à l'école.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le candidat a été sélectionné sur dossier \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og le candidat a été admis à l'école \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{D}$ et $\overline{A}$ les évènements contraires des évènements $D$ et $A$ respectivement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
\medskip
\item Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
\medskip
\item Montrer que la probabilité de l'évènement  $A$ est égale à $0,24$.
\medskip
\item On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à $0,24$.\\
On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
		\smallskip
		\item Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au millième.
		\smallskip
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au millième.
	\end{enumerate}
\medskip
\item  Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.\\
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
		\smallskip
		\item À partir de quelle valeur de l'entier $n$ la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo




\newpage
\exo{}{} Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

\begin{itemize}
\item la formation avec \emph{conduite accompagnée} ;
\item la formation \emph{traditionnelle}.
\end{itemize}

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :

\begin{itemize}
\item 75 personnes ont suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
\item  225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation \emph{traditionnelle} ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.
\end{itemize}

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item [] $A$ : \og la personne a suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} \fg{} ;
\item [] $R_1$ : \og la personne a réussi l’examen à la première présentation \fg{} ;
\item []$R_2$ : \og la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation \fg{} ;
\item []$R_3$ : \og la personne a réussi l’examen à la troisième présentation \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Modéliser la situation par un arbre pondéré.

\medskip
\emph{Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
		\smallskip
		\item Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\frac{1}{3}$.
		\smallskip
		\item La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée}?
	\end{enumerate}
\medskip
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite.

Ainsi, ${X=1}$ correspond à l’évènement $R_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\smallskip
		\item Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\medskip
\item On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les 300 du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les 300 personnes du groupe.

On admet que la probabilité de l’évènement $R_3$ est égale à $\frac{1}{6}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Dans le contexte de cette question, préciser un évènement dont la probabilité est égale à $1-\left(\frac{5}{6}\right)^n$.\\

On considère la fonction Python \textbf{seuil} ci-dessous, où $p$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[.
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{def seuil}(p):\\
\hspace{2em}n = 1\\
\hspace{2em}\textbf{while} 1-$(5/6)**n <= p$ :\\
\hspace{4.5em}n = n+1\\
\hspace{2em}\textbf{return} n\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur renvoyée par la commande \textbf{seuil}(0,9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}
