\documentclass[11pt]{article}

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 % \usepackage{fourier}

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\usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

\usepackage{multicol}
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\usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}


  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
\usepackage[np]{numprint}

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  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº13 - Fonction Exponentielle - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{9 mars 2023 - 1h}  \end{center}

Seul l'exercice 1 est évalué !\\

\exo{}{(10 pts)} \medskip

\textbf{Partie I :} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x - \text{e}^{-2x}.\]
On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vect{i};\vect{j})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\medskip
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
\medskip
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\medskip
\item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie II :} Dans le repère orthonormé $(O;\vect{i};\vect{j})$, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par: \[g(x) = \text{e}^{-x}.\]

La courbe $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le \textbf{graphique donné ci-dessous.}

\smallskip

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine O du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t~;~\text{e}^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$.\\
On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance O$M$.\\
On a donc : $h(t) = \text{O}M$, c'est-à-dire : \[h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}\]
    \begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $t$, \[h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]
        où $f$ désigne la fonction étudiée dans la \textbf{Partie I}.
        \smallskip
		\item Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha~;~\text{e}^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur O$M$ est minimale. Placer ce point sur le \textbf{graphique}.
	\end{enumerate}
\medskip

\begin{minipage}{9cm}
\item On appelle $T$ la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.\\
        \smallskip
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}$.\\
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :\\
\emph{Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.}
\smallskip
		\item Démontrer que la droite (OA) et la tangente $T$ sont perpendiculaires.\\
		Tracer ces droites sur le \textbf{graphique.}
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(3.25,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.08pt](-1,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.99,-0.75)(3.25,2.6)
\uput[l](1.5,1.5){\red $\Gamma$}\uput[ur](-0.75,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{x 1 2.71828 2 x mul exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{1 2.71828  x  exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{} {\em Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre
réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0, +\infty\right[$ par : $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}$.\\
    On donne la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur $\left]0, +\infty\right[$ par : $f''(x) = \frac{2\text{e}^{2x} (2x^2 - 2x + 1)}{x^3}$
    
    \begin{enumerate}[label=\textit{\roman*}.~]
        \item La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur $\left]0, +\infty\right[$ par :
        \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item $f'(x)=2\text{e}^{2x}$
            \item $f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}(x-1)}{x^2}$
            \item $f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}(2x-1)}{x^2}$
            \item $f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}(1+2x)}{x^2}$
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
        
        \item La fonction $f$
        \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item est décroissante sur $\left]0, +\infty\right[$
            \item est monotone sur $\left]0, +\infty\right[$
            \item admet un minimum en $\frac{1}{2}$
            \item admet un maximum en $\frac{1}{2}$
        \end{enumerate}
        \end{multicols}

        \item La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
        \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item $+\infty$
            \item $0$
            \item $1$
            \item $\text{e}^{2x}$
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
        
        \item La fonction $f$ est :
        \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item concave sur $\left]0, +\infty\right[$
            \item convexe sur $\left]0, +\infty\right[$ \\
            \item concave sur $\left]0, \frac{1}{2}\right]$
            \item représentée par une courbe admettant un point d'inflexion
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
    \end{enumerate}
    
\item \begin{enumerate}[label=\textit{\roman*}.~]
        \item L'équation $(E): \text{e}^{2x}-4\text{e}^{x}+1=0$ admet dans $\R$ :
        \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item 0 solution
            \item 1 solution
            \item 2 solutions
            \item Une infinité de solutions
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
        
        \item Pour tout réel $x$, l'expression $g(x)=3+\frac{-7\text{e}^{-x}+4}{\text{e}^{-x}+1}$ est égale à :
        \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
            \item $\dfrac{-7\text{e}^{x}+4}{\text{e}^{x}+1}$
            \item $\dfrac{-4\text{e}^{x}+7}{\text{e}^{x}+1}$
            \item $\dfrac{7\text{e}^{x}-4}{\text{e}^{x}+1}$
            \item $\dfrac{4\text{e}^{x}-7}{\text{e}^{x}+1}$
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
    \end{enumerate}
    
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}$.\\
    Si $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$, alors :
    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
        \item $F(x) = - \frac{1}{6}\left(x^3 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$
        \item $F(x) = - \frac{1}{4} x^4\text{e}^{-x^2}$
        \item $F(x)=-\frac{1}{2}\left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x^2}$
        \item $F(x)= x^2\left(3 - 2x^2\right)\text{e}^{-x^2}$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
    
    \item Que vaut : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x - 1}$ ?
    \begin{multicols}{4}
    \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
        \item $-1$
        \item $1$
        \item $+\infty$
        \item N'existe pas
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
    
    \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2$.\\
    Si on considère l'ensemble des primitives de $f$ :
    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
        \item Toutes sont croissantes sur $\R$
        \item Toutes sont décroissantes sur $\R$
        \item Certaines sont croissantes sur $\R$ et d'autres sont décroissantes sur $\R$
        \item Toutes sont croissantes sur $\left]-\infty, 0\right]$ et décroissantes sur $\left[0, +\infty\right[$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
    
    \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=3x-2\text{e}^{x}$.\\
    L'équation réduite d'une asymptote à la courbe représentative de $f$ est :
    \begin{multicols}{4}
    \begin{enumerate}[label=\alph*$)~$]
        \item $y=0$
        \item $y=-2\text{e}^{x}$
        \item $y=3x$
        \item $y=3x-2$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{enumerate}
\finexo
\end{document}
