\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº11 - Fonctions - Suites - TSpé}}  \end{center}
\begin{center}  \large{29 février 2024 - 45 min}  \end{center}




\exo{}{(Nouvelle-Calédonie nov 2019 - 10 pts)}

\medskip
\begin{minipage}{9cm}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right).\]
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.\\
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(5.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(5.2,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.1}{3 x mul 1 add x 1 add div ln}
\uput[u](5,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}





\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ positif ou nul.
		\smallskip		
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par

\[u_0 = 3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item  Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

\smallskip

L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.

On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

\smallskip

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ où 

$x_0 = \dfrac{- 2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$  et $g\left(x_0\right) \approx  0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](,2.4){$x$}\uput[u](2.15,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$x_0$}\uput[u](7.6,2.4){$+ \infty$}
\rput(1,1.9){Variations }\rput(1,1.3){de la}\rput(1,0.7){fonction $g$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(7.5,0.5)
\uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](5,2.5){$g\left(x_0\right)$}\uput[u](7.5,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
\item ~

\parbox{0.65\linewidth}{
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-contre afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.
		\item Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.32\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
$x \gets  0,22$\\
Tant que \ldots \ldots \ldots faire\\
\hspace{1.25cm}$x \gets x + 0,01$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabular}
}
\item  En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}


\finexo




\end{document}
