\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Continuité - TVI - TSpé}}  \end{center}
\begin{center}  \large{27 novembre 2023 - 2h}  \end{center}




\exo{}{(4 pts)}  Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=
\begin{cases}
x^2-4 \ \ \ & \text{si $x \leq 2$}\\
\sqrt{x-2}  & \text{si $x > 2 $}
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
\medskip
\item La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(5 pts)} Soit la suite $(u_{n})$ définie par :
\[
\begin{cases}
u_{0}=4 \\
u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^2}{5}~~~ \text{pour tout entier}~ n \in \N
\end{cases}
\]
Et soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{5}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
        \smallskip
        \item Résoudre l'équation $f(x)=x$.
        \end{enumerate}      
\medskip
\item Montrer par récurrence que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
\medskip
\item Justifier que la suite $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(6,5 pts)}\\

\textbf{Partie A :} Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x)=-4x^3-3x^2-2\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $\pI$ et en $\mI$.
\medskip
\item Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$.
\medskip
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ que l'on notera $\alpha$. \par
      Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.
      \medskip
\item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\vspace{0,2cm}

\textbf{Partie B :} Soit la fonction $f$ définie sur $I=\R \backslash \{1\}$ par \[f(x)=\dfrac{2x+1}{x^3-1}\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $I$ et préciser les asymptotes (s'il y a lieu).
\medskip
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x^3-1)^2}$.
       \smallskip
       \item Dresser le tableau de variations de $f$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}    
\finexo


\newpage
\exo{}{(7,5 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 3x}}$.\\
%CE_22mars2023
\medskip

\begin{minipage}{10cm}
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère\\
orthogonal du plan.\\
On nomme $A$, le point de coordonnées $\left(0~;~\dfrac12\right)$,\\
et $B$ le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac54\right)$.\\

\medskip
On a tracé ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psgrid[subgriddiv=4](-3,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{3}{2.71828 x 3 mul exp 2.71828 x 3 mul exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{3}{3 x mul 4 div 0.5 add}
\uput[l](0,0.5){A}\uput[dr](1,1.25){B}
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0.5)(1,1.25)
\uput[d](2.8,0.9){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[r](-1.2,-0.4){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}
\textbf{Partie A : Lectures graphiques}\\
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
\smallskip
\item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B : Etude de la fonction}


\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.\\
Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
\medskip
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
		\smallskip
		\item Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $[$.
	\end{enumerate}
\medskip
\item Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0,99$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie C : Tangente et convexité}

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.\\

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.\\
On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

On admet que $f''$ est définie sur $\R$ par :
\[f''(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x} \left(\text{e}^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^3}.\]

\item Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\R$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
		\smallskip
		\item Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
		\smallskip
        \item En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.\\
        Justifier la réponse.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(Bonus)} Soit $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par \[f_k(x)=\text{e}^{x}-kx\] où $k$ est un réel quelconque.\par
\medskip
Existe-t-il un réel $k$ tel que l'axe des abscisses soit tangent à $\mathcal{C}_k$, la courbe représentative de la fonction $f_k$ ?\par
Si oui, déterminer $k$ ainsi que les coordonnées du point de tangence.
\finexo





\end{document}
