\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº8 - Fonctions - Suites - Probabilités - TSpé}}  \end{center}
\begin{center}  \large{29 janvier 2024 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(Métropole juin 2021 - 7,5 pts)}\\

\textbf{Partie I : Lectures graphiques :} $f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.\\
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.8)(7,1.2)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-0.8)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-0.8)(7,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{7}{x 2 mul 1 add x dup mul x add 2.5 add div}
\uput[u](0,1){\red Courbe de la fonction dérivée $f'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$.
		\smallskip
		\item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Partie II : Etude de fonction :} La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\medskip
\item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
\medskip
\item En déduire le tableau des variations de $f$.
\item \begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\medskip 	
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in  \R$, \[f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}\]
Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(Métropole juin 2019 - 8,5 pts)} Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type $A$ et un jeu de type $B$.\\
On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
\begin{itemize}
\item si le joueur achève une partie de type $A$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $A$ avec une probabilité de $0,8$ ;
\item si le joueur achève une partie de type $B$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $B$ avec une probabilité de $0,7$.
\end{itemize}

\smallskip
Pour une entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :\\
$A_n$ : "la $n$-ième partie est une partie de type $A$."\\
$B_n$ : "la $n$-ième partie est une partie de type $B$."\\

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.


\begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci contre.
		\smallskip
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,\\ on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_n$~}\taput{$a_n$}}
{\TR{$A_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$B_{n+1}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$B_n$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$A_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$B_{n+1}$}\tbput{\ldots}
}}
\end{center}
\end{minipage}

Dans la suite de l'exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. La suite $(a_n)$ est donc définie par :\\
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
		\smallskip
		\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
		\smallskip
		\item Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item \textit{Étude du cas général.} Dans cette question, le réel $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~1]$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ par $u_n=a_n - 0,6$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
		\smallskip
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $a_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
		\smallskip
		\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
		\smallskip
		\item La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type $A$ et une autre insérée en début des parties de type $B$. Quelle devrait-être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(Métropole sept 2018 - 5 pts)} Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er}~janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. Au 1\up{er} janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1\up{er} janvier 2010, 64\,\% des ménages l'étaient.

\smallskip

Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}}\]

où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$.
\medskip
\item Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par :
\[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\smallskip
		\item Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99\,\% des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1\up{er} janvier 2018.
		\smallskip
		\item Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause.\\
		Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur \np{1000} foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}
